ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СПИН-БОЗОННЫХ СИСТЕМ

ԻՆՏԵԳՐԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ ՍՊԻՆ-ԲՈԶՈՆ ՄՈԴԵԼՆԵՐՈՒՄ

  Հրաչյա Գևորգի Բաբուջյան

Ուսանող, Երևանի պետական համալսարան,

Հայաստան, ք. Երևան 

INTEGRABILITY IN SPIN-BOSON SYSTEMS

Hrachya Babujyan

Student, Yerevan State University,

Armenia, Yerevan

ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СПИН-БОЗОННЫХ СИСТЕМ

Грачья Геворгович Бабуджян

студент, Ереванский государственный университет,

Армения, г. Ереван

Աշխատանքի համառոտ նկարագրություն

Այս աշխատանքում ուսումնասիրել ենք ինտեգրվող համակարգեր, մասնավորապես, սպինային շղթաներ երկչափ և միաչափ մոդելներում։ Աշխատանքի առաջին մասում նկարագրված է ճշգրիտ լուծվող սպինային շղթաները և դրանց լուծման մեթոդները, իսկ երկրորդ մասում ուսումնասիրել ենք բարձր սպնիով շղթաների Հաամիլտոնյանը և փորձել ենք Բաբուջյան֊Թախտաջյան մոդելի Համիլտոնյանը ներկայացնել դուալ տեսքով։ Աշխատանքի նպատակն է գտնել կամայական սպինով Համիլտոնյանի դուալ ներկայացումը, այսինքն  աստիճանի պոլինոմի գործակիցները որպես ֆունկցիա  սպինի մեծությունից։ Կուսումնասիրենք այդ պոլինոմի հատկություները։

 Նախաբան

Քվանտային մեխանիկայի օրենքների ձևակերպումից մի քանի տարի հետո Հայզենբերգը և Դիրակը հայտնաբերեցին որ ֆեռոմագնիսականությունը ունի քվանտամեխանիկական բնույթ։ Բանն այն է որ իրար վրա ընկնող օրբիտալ ալիքային ֆունկցիաներ ունեցող էլեկտրոնի սպինի և նրա հարևան ատոմների միջև առաջանում է փոխանակային փոխազդեցություն։ Փոխանակային փոխազդեցությունը, ինչպես հայտնի դարձավ, Կուլոնյան վանողության և Պաուլիի սկզբունքի պատճառով է։ Ըստ այս սկզբունքի՝ երկու նույնական ֆերմիոններ (կիսաամբողջ սպինով մասնիկներ) չեն կարող միաժամանակ գտնվել միևնույն քվանտային վիճակում։ Ավելի խիստ ձևակերպած՝ երկու նույնական ֆերմիոնների արդյունարար ալիքային ֆունկցիան հակասիմետրիկ է մասնիկների փոխատեղության նկատմամբ։ Ամբողջ սպինով մասնիկները՝ բոզոնները, չեն ենթարկվում Պաուլիի սկզբունքին. միևնույն քվանտային վիճակում կարող են գտնվել ցանկացած թվով նույնական բոզոններ, ինչպես օրինակ, Բոզե-Էյնշտեյնի կոնդենսատում։ Երկու հարևան սպինային մասնիկների համար փոխանակային էներգինան այսիսին է․

իսկ Համիլտոնյանը

Ընդհանուր դեպքում ունենք[4]

Հայզենբերգի մոդելը ներմուծվել է 1928 թվականին Հայզենբերգի կողմից և ունի մեծ պատմություն։ Առաջին ֆեռոմագնիսականությունը նկարագրող մոդելը ճշգրիտ լուծել է Հանս Բետեն 1931 թվականին։ Նա մեկ չափանի համասեռ Հայզենբերգի մագնետիկի համար առաջարկել է սեփականվեկտորների պարամետրիզացիայի եղանակ որը հայտնի է Բետե անզաց անունով։

Համասեռ իզոտրոպ Հայզենբերգի մագնետիկը իրենից ներկայացնում N հատ փոխազդող 1/2 սպին ունեցող մասնիկներով, որոնք գտնվում են միաչափ ցանցի հանգույցներում։ Այդ մոդելի համար Համիլտոնյանը ուներ հետեվյալ տեսքը․[3]

Սպինային շղթաներ բարձր սպինի դեպքում

Կամայական  սպինի համար Համիլտոնյանի տեսքը

Երկչափ ճշգրիտ լուծվող քվանտային դաշտի տեսույան մոդելները և վիճակագրական մոդելները հիմնված են Յանգ֊Բակստերի հավասարման վրա։ Իզոտրոպիկ Հայզենբերգի շղթայի համար

Հայզենբերգի սպին 1/2 շղթայի ըթանրացումը կամայակ սպինի համար կառուցվել է և ճշգրիտ լուծվել է 1983 թվականին Բաբուջյանի և Թաղթաջյանի կողմից [1][5]: Համիլտոնյանի ընդհանրացումը կամայական

“s” սպինի համար ունի հետևյալ տեսքը

որտեղ օպերատոր է կամայական s սպինի n֊րդ դիրքում, իսկ ը պոլինոմ է 2s աստիճանանի SU(2) ինվարիանտ միավորների

այստեղ ի համար այս հավասարումը ունի պարզ տեսք։[2]

Որտեղ մենք վերցրել ենք Մեր խնդիրն է ստանալ հավասարում որը կախված s֊ից կհաշվի պոլինոմի գործակիցները։

Կամայական սիպնով համիլտոնյանի դուալ ներկայացում

Կամայական սպիոնվ Համիլտոնյանը մենք փորձում ենք ներկայացնել դուալ տեսքով։ Այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․

որտեղ :

Մեր խնդիրն է գտնել  ֆունկցիաների անալիտիկ տեսքը։

Դուալ ներկայացմամբ․

որտեղ c(j)

Ընդհանուր տեսքում ստացվել է որ  գործակիցը

Փորձենք պարզեցնել արտադրյալի մասը

2j + i անդամը ստացվում է քանի որ i-ն հավասար չէ j-ին:

Փորձենք հասկանալ ինչպես կարող են պարզեցնել

գումարը։ Սկզբից փորձենք լուծել a =1 դեպքում

ստացանք, որ

a = 2 դեպքում

ստացանք որ

a = 3 դեպքում ունենք

կստանանք

և վերջապես ընդհանուր դեպքում

ստացանք որ կամայական a֊ի համար

Առաջին անդամը հաշվելու համար փորձենք հաշվել արտահայտությունը

Հիմա փորձենք պարզեցնել նաև նախորդ հավասարման 2-րդ անդամը։

հաշվելու համար

նշանակենք z֊ով և օգտագործենք Նյուտոնի բինոմական հավասարումը

Այսպիսով -ի համար ունենք հետեվյալ արտահայտությունը

Արդյունք և հետագա աշխատանք

Այսպիսով մենք ունեցանք ֆունկցիայի հաշման համար անհրաժեշտ բոլոր բաղադրիչները։ Դրանք բավականին բարդ տեսք ունեն և վերջնական արդյունք ստանալը ձեռքով գրեթե անհնար է։ Հետագայում մենք կփորձենք այս ֆունկցիայի տեսքը հաշվել մաթեմատիկա ծրագրի օգնությամբ որը մեզ ցույց կտա թե  ֆունկցիայի որ հատկություների շնորհիվ է որ Բարձր սպինով համիլտոնյանը դառնում է ճշգրիտ լուծվող։

Հղումներ:

1. Hratchya M Babujian. ``Exact solution of the isotropic Heisenberg chain with arbitrary spins: Thermodynamics of the model''. in: Nuclear Physics B 215 (1983), pages 317–336.
2. L. D. Faddeev and L. A. Takhtadzhyan. ``Spectrum and scattering of excitations in the one-dimensional isotropic Heisenberg model''. in: Journal of Soviet Mathematics 24.2 (January 1984), pages 134–178. DOI: 10.1007/bf01087245. URL: https://doi.org/10.1007/bf01087245.
3. Michael Karbach, Kun Hu and Gerhard Müller. ``Introduction to the Bethe Ansatz II''. in: Computers in Physics 12.6 (november 1998), pages 565–573. DOI: 10.1063/1.168740. arXiv:cond-mat/9809163 [cond-mat.stat-mech].
4. Michael Karbach and Gerhard Muller. ``Introduction to the Bethe ansatz I''. in: arXiv e-prints, cond-mat/9809162 (september 1998), cond–mat/9809162. arXiv: cond-mat/9809162 [cond-mat.stat-mech].
5. L. D. Faddeev L. A. Takhtadzhyan. ``The quantum method of the inverse problem and the Heisenberg XYZ model''. in: Russian Mathematical Surveys 34 (5 1979), pages 11–68.