ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Сапаров Тимур Ерсаинұлы

студент, НАО университета им. Шакарима,

Казахстан, г. Семей

PROBABILITY THEORY AND RANDOM PROCESSES

Timur Saparov

student, Shakarim University,

Kazakhstan, Semey

АННОТАЦИЯ

Для систем, обозначенных функциональными диаграммами, должны быть построены вероятностные математические модели и проверены гипотезы о форме законов распределения, основанные на экспериментальных данных.

В процессе построения математической модели необходимо продемонстрировать оперативное знание событий, теорему сложения и умножения вероятностей, концепцию независимости событий. Выполнение работы также предполагает знание понятия случайных величин, закона распределения и умение вычислять моменты. Требуется знание основных понятий и методов математической статистики (оценка параметров, проверка статистических гипотез).

ABSTRACT

For a system specified by a functional diagram, it is necessary to construct a probabilistic mathematical model and, on the basis of experimental data, to test the hypothesis about the form of the distribution law.

In the process of constructing a mathematical model, it is necessary to demonstrate knowledge of operations on events, theorems of addition and multiplication of probabilities, and the concept of independence of events. Performing work also presupposes knowledge of the concepts of a random variable, its distribution law, and the ability to calculate moments. Familiarity with the basic concepts and methods of mathematical statistics (estimation of parameters, testing of statistical hypotheses) is required.

Ключевые слова: теория вероятностей, случайное событие, функция распределения.

Keywords: probability theory, random event, distribution function.

Существуют системы, состоящие из блоков, которые работают независимо друг от друга и могут выйти из строя в определенных точках. Некоторые блоки дублируются. Если один из блоков выходит из строя, его функция может быть выполнена на другом блоке, что повышает стабильность системы.

Если отказ конкретного блока представляет собой поток событий Пуассона, то время безотказной работы (τ)является случайной величиной, распределенной в соответствии с экспоненциальным законом. Функция распределения:

Где λ-положительный параметр (частота отказов).

, (один)

В этом случае событие "τ ≥ t" эквивалентно тому, что пробой не происходит в интервале от 0 до T. То есть этот блок работает. Вероятность такого события такова:

(t> 0). (2)

Зная вероятность безотказного вождения каждого устройства в зависимости от t, вы можете найти функцию распределения времени безотказного вождения всей системы.

Технологическая задача обеспечивает функциональную схему системы, состоящей из двух типов блоков с частотой отказов λ 1 и λ 2 соответственно. Значения параметров λ1 и λ2 неизвестны, но их можно оценить по результатам экспериментов с использованием математико-статистических методов, таких как метод моментов.

Было проведено большое количество экспериментов, и в каждом эксперименте фиксировался период безотказной работы системы. Экспериментальные результаты представлены в виде сгруппированных образцов. Отображается интервал-[t i-1, ti] и n i-количество значений случайной величины τ, принадлежащих этому интервалу.

Зафиксируем момент времени t> 0.

Оставьте событие A как безошибочную работу системы в течение интервала времени (0, t).

Затем в течение этого интервала безаварийная работа k-го блока обозначается Ак.

(k = 1, 2, 3), в соответствии с функциональной диаграммой, вы можете записать следующее:

Таким образом, учитывая независимость событий A1, A2, A3, используя теорему умножения и сложения, получаем:

Предположим, что время безотказной работы каждого устройства распределяется по экспоненциальному закону с использованием параметров λ1, λ2, λ2 соответственно.

Буду иметь:

Таким образом, функция распределения времени безотказной работы системы:

Экспериментальные данные

Экспериментальные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Экспериментальные данные

Задача требует:

а) Построить математические модели, такие как функция распределения и плотность вероятности безотказной работы системы, на основе функциональных диаграмм.

б) Применить метод моментов для нахождения оценок параметров λ1 и λ2. Для этого:

1) Найдите первичный и вторичный начальные моменты времени безотказной работы в зависимости от λ1 и λ2.

2) Вычислите соответствующий момент выборки по экспериментальным данным.

3) Решите уравнение результирующей системы, приравняв"типичный" момент к моменту выборки.

в) Построить гистограмму и сравнить ее с графиком оценки плотности вероятности, полученной с использованием найденных оценок λ1 и λ2.

г) Построить функцию распределения выборки и сравнить ее с оценкой функции распределения, полученной с использованием найденных оценок λ1 и λ2.

д) Использовать критерий Пирсона для подтверждения гипотезы о форме закона распределения.

Проверка гипотезы о виде закона распределения

Проверяемая гипотеза Н ₀ состоит в том, что функция распределения времени безотказной работы рассматриваемой системы действительно задаётся формулой (1).

В соответствии с критерием Пирсона используем статистику

где p _i = F(t_i) – F (t _i-1) – вероятность попадания случайной величины τ в i -й интервал. Поскольку значения параметров неизвестны, вместо функции F(t) берётся её оценка (1´). Кроме того, при вычислении p_k полагаем: p_k = 1 – F(t_k-1).

Функциональная схема системы

Функциональная схема системы изображена на рисунке 1.

Рисунок 1. Функциональная схема системы

Зададим уровень значимости α = 0,05 и будем искать критическое значение U _кр из условия:

Р(U > U_кр | Н₀) = α .

Соответствующие графики изображены на рисунке 2.

Таблица 1.

Значения F ^*(t_i) и (t_i)

Как известно, при справедливости гипотезы Н ₀ можно считать, что статистика U распределена по закону хи-квадрат с числом степеней свободы r = k - 1 - m , где m – количество оцениваемых параметров, т.е. в нашем случае r = k - 3 = 17. Поэтому в качестве U_кр возьмём значение s_r,α , определяемое условием:

где    - случайная величина, распределённая по закону хи-квадрат с числом степеней свободы r.

Из таблицы распределения хи-квадрат (см. приложение Б) имеем: U _кр = s_{17, 0.05} > 27,5

Вычислим значение статистики U = 6,07 .

Поскольку полученное значение U < U_кр гипотеза Н₀ принимается.

При этом: F ^*(t) = 0, если t ≤ 0 и F ^*(t) = 1, если t ≥ t_k.

Эти значения, а также    (t_i), вычисленные по формуле (1´), приведены в таблице 1.

Рисунок 2. Оценивание функции распределения

Вы можете видеть, что оценка функции распределения, полученная на основе математической модели, построенной с использованием метода моментов, очень близка к функции распределения выборки.

Список литературы:

1. Азизов, А. М. Основы прикладной математики. Теория вероятностей и математическая статистика/ А. М. Азизов, А. Г. Курицын, В. Г. Никитенко. – СПб. : Химия, 1994. – 264 с.
2. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учебное пособие для втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров – М. : Высшая школа, 2007. – 491 с.
3. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей: учебник для вузов / Е.С. Вентцель – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.
4. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.
5. Пугачев, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие / В. С. Пугачев – М. : Физматлит , 2002. – 496 с.