ЖАҢАРТЫЛҒАН БІЛІМ БЕРУ ЖҮЙЕСІНДЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ОҚЫТУ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ

ЖАҢАРТЫЛҒАН БІЛІМ БЕРУ ЖҮЙЕСІНДЕ ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ОҚЫТУ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ

Берикханова Гульназ Еженхановна

Физика-математика ғылымдарының докторы, профессор, Семей қаласының Шәкәрім атындағы университеті,

Қазақстан, Семей

Жолымбаев Оралтай Муратканович

Физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент, Семей қаласының Шәкәрім атындағы университеті,

Қазақстан, Семей

Заманбекова Амангүл Азатқызы

Магистрант, Семей қаласының Шәкәрім атындағы университеті,

Қазақстан, Семей

Жаңартылған білім беру жүйесінің негізгі мақсаттарының бірі оқушылардың шығармашылық ойлау қабілеттерін дамыту болып табылады. Күрделі есептерді шығара білу – оқушылардың математикалық ой-өрісінің дамығандығын анық көрсетеді.

Оқушылардың математикаға деген ойлау қабілеттерін арттыру үшін ең алдымен оқушылардың қабілеттеріне қарай қызығып шығаратын есептерді ептілікпен таңдап алуы қажет. Егер есеп оқушылардың қабілеттеріне сай келмейтін болса, немесе шамадан тыс қиындығы жоғары болса, есепке деген құлшыныстары азайып, есепті аяқтамай, ынтасын төмендетеді.

Есеп шешімін болжау мұқияттылықты қажет етеді, яғни есепте кездесетін функцияның негізгі қасиеттерін, ерекшеліктерін, ұқсастық белгілерін ажырата білуі керек. Оқушылардың математикалық ойлау қабілеттерін арттырудың ең тиімді әдісі – салыстыру және ұқсастыру, анализ және синтез болып табылады.

Мектептің математика курсында «Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу» тақырыбын меңгеру оқушыдан логарифмдік функцияның қасиеттерін, алгебралық теңдеулерді шешу әдістерін, оны зерттей білуді талап етеді.

   және   

түріндегі теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді қарастырайық.

Осындай теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу барысында олардың мүмкін мәндерінің жиыны мына шарттарға сүйенетіндігін ескеру қажет:

1)  ,,, функциялары мүмкін мәндер жиынында мағынасы бар;

2) логарифм негіздері, яғни  және  функциялары мүмкін мәндер жиынында келесі шарттарды қанағаттандыру қажет:

,  ,  ,  ;

3) логарифм астындағы өрнек мүмкін мәндер жиынында оң, яғни ,  теңсіздіктері орындалуы қажет.

Негізінде белгісізі бар жоғарыда көрсетілген логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде олардың егізін белгілі санға келтіріп шешу тәсілі тиімді болады.

Берілген теңдеу мен теңсіздікті шешудің негізгі алгоритмі төмендегідей:

1) Теңдеу мен теңсіздіктің мүмкін мәндер жиынын табу.

2) Логарифмді ортақ негізге келтіру, мұндағы -  тағайындалған сан,  және , яғни берілген теңдеуді мүмкін мәндер жиынында мынандай мәндес теңдеуге ауыстырамыз  .

Ал берілген теңсіздікті мүмкін мәндер жиынында эквивалент төмендегі теңсіздік пен алмастырамыз     .

Сыртқы қалпы стандартты берілген теңдеуге (немесе теңсіздікке) ұқсас пайда болған негізгі теңдеуді (немесе теңсіздікті) шешеміз.

Оның шешімі берілген теңдеудің (немесе теңсіздіктің) шешімі болып саналады [1].

Мынандай мысалдар қарастырайық:

Мысал – 1.   теңсіздігін шешу керек [2].

Шешуі: Берілген теңсіздік барлық  үшін бір уақытта мүмкін мәндер жиынында мына шарттарды қанағаттандырады.

,  , , ,

яғни мүмкін мәндер жиыны екі аралықтан

 және   тұрады.

Берілген теңсіздікті 2 негізге келтіреміз. Сонда мүмкін мәндер жиынына қатысты берілген теңсіздікке мәндес теңсіздік аламыз.

,   .

Бұл теңсіздіктің шешімі мынандай теңсіздіктер жүйесінің шешімдерімен анықталады:

  немесе   

   немесе   

Алғашқы жүйенің шешімі , ал екінші жүйенің шешімі болмайды.

 мүмкін мәндер жиынына енетін болғандықтан берілген теңсіздіктің шешімі болады.

Жауабы: .

Кейде логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу барысында ортақ бір негізге келтіре отырып шешу үрдісі қолайсыз, сондықтан төмендегі әдісті де қарастырамыз.

Мысал – 2.   теңдеуін шешуді қарастырайық [2].

Шешуі: Екінші қосылғыштағы  , ал бірінші қосылғыштағы   болғандықтан, берілген теңдіктің мүмкін мәндер жиыны барлық үшін төмендегі шарттарды қанағаттандыруы тиіс.

, , ,,

яғни, мүмкін мәндер жиыны  және   екі аралықтан тұрады.

Логарифмнің негізін ортақ қандай да бір  санына келтіру қолайсыз екендігін оңай көруге болады. Сондықтан теңдеуді мүмкін мәндер жиынында өзгертеміз.

.

   арқылы белгілейміз.

сол себепті мынандай қарапайым алгебралық теңдеу аламыз:

Бұл теңдеудің шешімдері   және   болады. Демек, берілген теңдеу мүмкін мәндер жиынында өзіне эквивалент екі теңдеудің жиынтығынан тұрады:

 және 

Бірінші теңдеу қарастырылып отырған облыста, яғни  ,   аралығында мына теңдеуге теңмағыналы болады:

,   .

Бұл теңдеудің шешімдері қарастырылып отырған облысқа енбейтін

,    шешімдерге ие. Олай болса, табылған түбірлер берілген теңдеудің шешімі болмайды.

Ал, екінші теңдеу   облысында   теңдеуімен мәндес. Осы теңдеудің шешімі ,  болады.

Бұл түбірлердің біреуі ғана,    қарастырып отырған облысқа тиісті. Демек, берілген теңдеудің   деген жалғыз шешімі бар.

Жауабы: .

Мысал – 3.  теңдеуін шешу керек [3].

Шешуі: Берілген теңдеу  мәнінде мағынасы бар және анықтау облысы  болады. Бұл облыста бастапқы теңдеу мына теңдеумен мәндес.

,  бұдан    немесе

Екі жағдайды қарастырамыз:

а)

екінші теңдеуде жақшаны ашып ықшамдасақ мына теңдеуді алып, оны шешеміз. Сонда

,  бұл теңдеудің түбірлері  .

 болғандықтан   болады.

Пайда болған екі түбір де   шартын қанағаттандыратынын көруге болады.

б)

екінші теңдеуде жақшаны ашып ықшамдасақ мына теңдеуді алып, оны шешеміз. Сонда

,  оның түбірлері  .

Соңғы түбір шартын қанағаттандырмайды.Сондықтан  болғанда  болады. Демек, біз төмендегідей жауаптар аламыз.

  жағдайында теңдеудің үш түбірі,

,   болады. Ал   жағдайында тек қана бір түбірі    болады.

Жауабы:   .

Мысал – 4 .  теңдеуді шешу керек [3].

Шешуі: Теңдеудің анықталу облысын мына жүйенің шешімінен аламыз:

Осы шарттарға қатысты берілген теңдеу төмендегі теңдеуге эквивалентті:

 болғанда         =0,   болғандақтан

     бұдан   .

  болғанда

,  

 болсын, яғни  сонда

 болсын,яғни

Жауабы: , 

.

Математикаға қабілетті оқушылардың ынтасын арттыруда, ой-өрісін кеңейтуде жоғарыда көрсетілгендей есептерді шешудің берері мол. Математика пәнінен дарынды, пәнге қабілетті оқушыларымыз көп болсын десек оқушыға терең білім беруіміз қажет, оқу процесінде анализ, синтез, салыстыру, ұқсастыру, дәрежелеу тәрізді операцияларға басты назар аударумен қатар сабағымызда осындай зерттемдік есептерді шығаруға дағдыландыруымыз қажет.

Әдебиеттер тiзiмi:

1. Шарыгин И.Ф. Сборник задач по математике с решениями / Шарыгин. – Москва Астрель : АТС, 2001. – 350 б.
2. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства / В.В. Вавилов. М.: Наука, 1987. – 325 с.
3. Егерев В.К. 100х4 задач / В.К. Егерев, А.Г. Мордкович Linka.Press, 1993. 262 б.